Ğ(x)

Soit la valeur produite sous licence publique CC0 et constituée par le texte suivant, comprenant trois phrases identifiées par les symboles A et Ğ(x), et comprenant une variable libre « x » :

A : Soit V l’ensemble des valeurs produites non-reconnues par l’utilisateur.
Ğ(x) : l’utilisateur reconnaît que x appartient à V

Qu’en est-il maintenant de Ğ[Ğ(x)] ?

Ğ[Ğ(x)] : l’utilisateur reconnaît que Ğ(x) appartient à V

Si Ğ[Ğ(x)] est vraie, alors l’utilisateur reconnaît Ğ(x) comme appartenant à V, donc comme valeur qu’il ne reconnaît pas, ce qui est contradictoire.

Si Ğ[Ğ(x)] est fausse, alors l’utilisateur ne reconnaît pas Ğ(x) comme appartenant pas à V. Ğ(x) est alors une valeur reconnue par l’utilisateur, donc Ğ[Ğ(x)] aussi qui affirme bien que l’utilisateur reconnaît que Ğ(x) fait partie de V, donc qu’il ne la reconnaît pas, ce qui est contradictoire.

Donc à la question Ğ[Ğ(x)] est-elle vraie ou fausse, l’utilisateur n’est pas en mesure d’apporter une réponse cohérente, Ğ[Ğ(x)] est indécidable. Il s’ensuit que la valeur Ğ(x) est elle-même indécidable pour l’utilisateur.

Pourtant Ğ(x) est bien une valeur produite, et elle est bien utilisée par celui qui vient de lire ce texte, s’agissant d’une valeur destinée à être lue. Ğ[Ğ(x)] est donc bien vraie, et donc Ğ(x) est une valeur, bien que l’utilisateur ne soit pas en mesure d’en apporter aucune « preuve » que ce soit.

Il existe donc bien des valeurs produites et utilisées qui ne sont pas reconnues par leurs utilisateurs, et donc ne passent pas par la « preuve » pour être des valeurs.

Comme tout utilisateur est en mesure de lire, copier, modifier, diffuser Ğ(x), valeur produite sous licence publique, et donc de diffuser cette valeur dans l’économie, il est donc un fait que Ğ(x) est partie prenante d’une économie où la preuve n’est pas le seul fondement de la production des valeurs.

L’essence du non

Soit une méthode algorithmique M, définie comme composée de tous les groupes de méthodes connues M1, M2, M3, …, Mn et permettant de déterminer si des suites (Un) quelconques, convergent ou non, en donnant pour résultat M(U) = respectivement 1 ou 0

Soit G la suite de nombres dont les termes sont algorithmiquement définis comme suit:

1°) k = 0 ; G0 = 0
2°) Gk+1 = Gk + M(G)
3°) Ajouter 1 à k et retour en 2°)

Qu’en est-il de M(G) ?

Si M estime que G converge alors M(G) = 1 et les termes de G seront tous définis par Gk+1 = Gk + 1, ce qui implique que G diverge. Ce qui est contradictoire.

Si M estime que G ne converge pas alors M(G) = 0 et les termes de G seront tous définis par Gk+1 = Gk, ce qui implique que G converge. Ce qui est aussi contradictoire.

M ne peut donc aboutir à une conclusion définitive qui par construction remettrait en cause la nature même de G.

La convergence de G est donc indécidable par M

glibre_400x300Conclusion : quel que soit l’état des méthodes de résolution de convergence connues, il existe toujours des suites de nombres dont la convergence ne peut pas être déterminée par ces méthodes.

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